线上学习《钉子板上的多边形》听课收获

《钉子板上的多边形》是一节充满探索趣味、极具思维价值的课。这节课的价值定位不在让学生掌握“皮克定理”，而是以钉子板为媒介，在多边形面积与边上钉子数之间搭建桥梁，引导学生经历“观察—猜想—验证—归纳”的完整探究过程。

课始，教师从图形内只有1枚钉子的情况入手，让学生算面积、数边上的钉子，引导学生用表格将各个图形的数据整理出来。学生通过对表格内数据的观察，很快发现了其中的规律，即图形面积数=边上钉子数÷2。引导大家用字母来表达这一规律，即S=n÷2。

师：仔细观察，这几个平面图形有什么共同特征呢？

孩子们经过一番讨论后，眼光终于聚焦到中间的钉子数，中间都只有1枚钉子。

师：那如果图形中间有2枚钉子呢？图形的面积数还是等于边上的钉子数除以2吗？

这时，有孩子认为是，也有孩子反对，大家意见不一致。

师：猜想是我们研究数学问题的第一步，也是非常重要的一步。有了猜想，我们就需要验证我们的想法。下面我们就请大家在钉子图上画出一些中间有2枚钉子的图形，你来研究研究，看能不能验证你的想法。

孩子们在钉子图上画出不同的图形，边画边数。教师让几个孩子上台来汇报他们的数据，并将这些数记入表格。学生再次观察发现，刚才的规律在这儿不对了，但也很快发现：图形面积数=边上钉子数÷2+1，字母表达式为S=n÷2+1.

这时，学生们有点兴奋，大概是因为他们又发现一个规律。但他们这时的发现还是零散的。

师：那你们猜猜，如果中间有3枚钉子，会有什么规律呢？

生1：后面会加2.

生2：对！也就是S=n÷2+2。

师：那你又该怎样验证你的猜想呢？

孩子们再次进入了画、数、算的验证环节。在这个过程中，发现有的孩子画出了中间有4枚、5枚钉子的情况，他们是想探索出一个更一般的规律，即平面图形的面积在与边上钉子数有关的情况下，与中间的钉子数又存在什么样的关系呢？

学生在探索过程中已经具备了丰富的感性经验，经过一番讨论，得出了S=n÷2+b-1。孩子们更兴奋了。这是他们在经历操作思考逐步探索出来的规律，成功是属于他们的。

师：假如平面图形的中间没有钉子，你们总结的这个规律可行吗？

教师把规律从一般再次推向特殊情况，让学生体验数学的严谨性，保证规律的正确性。孩子们立马动手，又是一番操作，其实这比前面的探索更简单些，得到了“当然也行”的结论。

整个探索过程，学生画、数、算等操作活动都只是探究的外壳。真正的数学探究核心在于“数学化”过程——从具体操作中抽象出数学模型。我们要思考的是，如何让操作始终服务于数学思维的提升？为什么数学家皮克能发现这个定理？他可能经历了怎样的思考过程？

附:

皮克定理是用于计算格点多边形面积的公式，公式为：

S = a + b÷2 - 1

其中，S 代表格点多边形的面积，a 是多边形内部的格点数，b 是多边形边界上的格点数。

适用条件：

1.多边形的顶点都在格点上（格点指平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点）。

2.多边形为简单多边形（无自相交）。

举例：一个边长为1的正方形，内部格点数 a=0，边界格点数 b=4，代入公式得 S=0+4÷2-1=1，与实际面积一致。