菲尔兹奖得主王虹证明的挂谷猜想究竟是什么？

作者：@科普君XueShu雪树

菲尔兹奖得主 王虹证明的挂谷猜想究竟是什么？初中生都能看懂的通俗解释

【一段话概括】
所谓挂谷集合，就是一堆特殊的线段集合在一起。这个集合的体积可以极小，甚至是零。可是麻雀虽小五脏俱全。#王虹#证明了，尽管体积可以极小，但它的维度，不会有一丁点损失缺憾，必定是完整的3，而不是譬如说2.95这样的病态数字。
#中国数学家首获菲尔兹奖#
我们来从最简单的情况开始，一步步解释清楚，王虹到底在解决什么问题。
【什么是非整数的维度】

正常来讲，我们平常看到的东西，维度要么是零维的点，要么是一维的线，譬如直线或曲线，要么是二维的面，譬如平面或者曲面，要么是三维的各种实体，譬如球、石头、人体等等。你日常生活中只能见到整数维度的东西。

但是数学家关心的对象远为普适。他们愿意亲自构造一些病态的集合来研究。而且可以非常自然地定义和计算它的维度。它的维度可以是小数。

我们举一个非常简单非常好理解的例子。你完全可以看见这个病态集合。

给你一根长度为1的线段。你把它分成三等份。每一份长三分之一。
你把中间那三分之一丢掉。剩下左右两段。
然后，你把剩下的两段，各自再分成三等份，再各自挖掉中间的三分之一。
无限重复这个“挖掉中间三分之一”的过程，你就得到了一个病态的集合。
一条变两条，两条变四条，四条变八条。
你的线段条数，越来越多，最后有无穷条。
但是每条线段，越来越短，最后线段的长度，越来越小，无限次以后就变成零。

最后，一条完整的线段就变成了，无数个稀稀落落有规律排列的点的集合。

这就造出了一个病态的集合，说它病态是因为你生活中肯定碰不到。

这个集合不是有限个点，它有无限个；也当然不是一条完整的线段。
怎样反映以上这种跟通常的点和线有区别的特征呢？
数学家可以想办法自然而然定义一个维度，最好让它的维度，介于0和1之间，体现出这种区别。不是零维，也不是一维。
有了具体数字，就对它有了更准确的定量把握。

注意，这里的一个关键，无限个。至少得有无限个点。数学中引入了无限以后，事情往往变得诡异而奇妙。

因为刚才我们的构造过程非常简单，有规律，所以数学家完全有办法去定义这个维度。最后结果是“2的自然对数除以3的自然对数”（ln2除以ln3）。
你看，三条线段，剩两条。虽然你可能不明白结果具体怎么来的，但是，构造过程中标志性的两个数，3和2，精准而确定地反应在了结果之中。
这就叫有章可循，这就叫数学的确定性。不懂不要紧，但你知道结果是确定的，这就很踏实。这就是数学的魅力。
你可以用计算器，把这个数进一步算成小数，结果大约等于0.63。
给它贴上这么个数字标签，我们就能更好地描述、理解和驾驭这个病态的集合了。

这个集合叫康托集合，无限个零维的点，是不占体积的，所以体积为零。但是维度不为零，维度是0.63。

还可以再举一个病态的例子。

把一条线段分成三等分，把中间那段替换成一个没有底边的等边三角形。也就是说三条线段，变成了四条线段。
无限次重复这个过程。
你就得到了科赫曲线。
每一步都增加了长度，它最后的总长度是无穷大。
而它的维度是“4的自然对数除以3的自然对数”（ln4除以ln3），约等于1.26。

【什么是挂谷集合】

前面我们举的变态集合的例子，康托集合和科赫曲线，本质上都是同一个完全确定的图形。

但挂谷集合，不止一种具体确定的形式，而是一大类集合的总称。

我们先看最简单的二维情况。
最简单的挂谷集合，就是一个圆，加上它里面的部分。即一个二维的实心圆盘。
这个圆的直径，你可以全部画出来。
无限条直径，就把这个圆盘完全覆盖住了。
我们从此只需考虑直径为1的圆，不考虑任何别的长度。这不会对问题实质有影响。
每一条直径所指的方向都不同。圆有360度，你随便说一个角度，都能画出一条直径。
所谓直径，就是线段。
所以这个圆盘，可以等价地看作是：无限条指向每一个角度的线段，构造出来的一个集合。

如果把一条直径单独抽出来，平移到别的地方，比如圆周之外，但务必保持这条直径的指向，跟在圆盘里的时候一样。
这样得到的集合，虽然比较诡异，但依然是挂谷集合。

从这个圆盘出发，随意平移每一条线段，你可以得到无数种可能的集合。
每一个都是现代意义上的挂谷集合。
它看起来有可能整齐规律，也有可能支离破碎。 

所以挂谷集合，包含两个要素：
第一，无限条长度为1的线段；
第二，这些线段任意拎出来两条，方向都不一样，但是每一个方向，都会存在一条线段。

正因为挂谷集合，包含无穷个例子，而非有限个，你没法一个个列举，分而击之。所以它要比前面病态集合的例子麻烦得多。

而数学证明的魔力正在于，数学家要想办法，超越有限，令人信服地抵达无限。

【二维空间中挂谷集合的面积和维度】

每一个挂谷集合，都可以想办法计算它的面积。
一个很自然的问题是，哪一个挂谷集合的的面积最小？

数学家发现，从前面的单位圆出发，随意平移，你完全可以拼出一个高为 1 的等边三角形。
直径为1的圆，面积约是0.785 。而高为 1的等边三角形，面积约是0.577。
面积变小了。

假如你只考虑那些比较规整没有凹陷进去挂谷集合，你猜怎么着？
数学家证明，你再也没办法找到，比等边三角形面积更小的了。
等边三角形，某种程度上，是面积最小的王者。

可是假如你放宽条件，各种边缘参差不齐的例子，都可以公平竞争。

那你就容易构造出面积更小的例子。
数学家证明，它的面积可以越来越小，甚至为零。

你可以把这个等边三角形，从中间沿着它的高切开，然后把两半三角形，沿着底边，向对方的方向滑动，于是，它们下半部分的很大一块身体，会完美重叠在一起。 因为共用了空间，它的总面积，就比原来的三角形小多了。

以此类推，这个“切开、平移、重叠”的步骤可以无限次进行下去。 你可以切得越来越细，重叠得越来越紧密。最终，它的形状会变得越来越破碎、越来越病态，但它的面积，却越来越小，直到彻底变成零。

你看，前面的康托集合，没有任何体积和面积，但是它的维度是0.63。
面积或体积的微小，并不必然导致维度一定很小。
就好比一个神经细胞体积可以极小，但它的维度是满满的3。

挂谷集合的面积清楚了，可以极小，甚至归零。
所以一个很自然的问题是，它的维度呢？
会不会像康托集合一样是个小数呢？
不是。
 1971年，英国数学家戴维斯证明，二维空间的挂谷集合，虽然可以造型很病态，面积为零，但它的维度，一定是满满的2。

【挂谷集合的重要性】

同样是在 1971年，另一位数学家，后来的菲尔兹奖得主费弗曼（Fefferman）发表了一篇惊人的论文。他发现，挂谷集合，这个看似只是拼图游戏的东西，竟然在数学中的调和分析、量子力学、波的传播等领域中，自然而然出现。这让数学家们大为重视挂谷集合。

既然二维空间中的挂谷集合已经研究清楚了，一个很自然的问题，就是把它推向我们生活的三维空间。

这就是著名的三维挂谷猜想：

三维空间中的挂谷集合，像一个极其密集的刺猬，包含了空间中所有立体方向的长度为 1 的线段。数学家已经知道，通过极其复杂的三维切分与重叠，它的体积依然可以被压缩成零。

那么，在三维空间中，它的维度还会是完整的 3 吗？

【三维情况为什么更难？】

你可能会问，二维都证明了，三维照猫画虎不就行了吗？ 不行。

三维挂谷猜想比二维版本复杂得多。 因为在二维的纸面上，两条方向不同的线，必定会相交撞在一起。但在三维的立体空间里，两条方向不同的线，可以完美错过。正是这个特点，让三维情况难了很多。

数学中，同一个问题，高维版本并不一定比低维版本难。

比如四维乃至更高维度的庞加莱猜想，就比三维版本，更早证明出来了。维度升高，有时会让数学对象有更多辗转腾挪的空间，反而能降低难度。

所以需要具体问题具体分析。不可一概而论。

【 三维空间中的挂谷集合如何定义和计算其维度】

二维空间中的康托集合，你已经知道，数学家可以确定无疑地计算它的维度。
三维空间中的线段集合，也可以计算，虽然要复杂一些，但基本精神其实不难理解。

我们这里稍微详细说一说。

三维空间中，一根线段，体积为零，维度为1。

而一个边长为1的立方体，它的体积就是1，维度是3。

这当然显而易见。但我们可以换一个角度重新看待这两个简单的例子，看看为什么它们的维度有实质性不同，从中提取出的经验，就可以迁移，用来确定更复杂的集合的维度。

一个立方体其实可以看做无数根平行的线段，密密麻麻地堆集在一起。

假如我们给每根线段喷上蓬松的发泡胶，
也就是让每根线变成一根管子。

譬如说线段长1米，立方体边长1米。发胶的粗细是半径2厘米。

那么一维的单根线段，体积就不是零了。体积大约是0.001立方米。

而立方体每根线段也喷上发胶后，中间的线段发胶相互重合，并没有增加立方体的体积，整个立方体只在表面，蓬松起了薄薄一层。立方体本来体积本来是1立方米。现在变成了大约1.1立方米。

现在我们再对另一套同样的线段和立方体喷一次发胶，只不过这次发胶的半径，不是2厘米，而是1厘米。

这次线段变成的管子，体积是0.0003立方米，变成了前面管子的四分之一。缩水了75%。

而立方体的体积变成了大约1.06立方米。变成了前面蓬松立方体体积的大约95%，只缩水了5%。

如果发泡胶半径再减小，单根线段的管子，体积就越来越来接近零了。
而立方体再怎么缩水，也只是更接近原来的体积1立方米，绝不可能比1立方米小。

发泡胶越细缩水越慢，最后你可以认为几乎完全不缩水了。

瘦死的骆驼比马大。立方体维度本来就丰满，再怎么缩水也有底。
单根线段则经不起缩水。

这就是两者的实质性区别。
体积的大小确实不能反应维度大小。
麻雀虽小五脏俱全。
但体积缩水的快慢，则精准反映了维度的大小。

单根线段和立方体，你可以看成两个极端。
一个是一维，一个是三维。有的集合的缩水速度，完全可以处于两者之间任何位置。它的维度也就可以是1和3之间的任何值，甚至可以是小数，比如2.3。

于是，对任何一个线段集合，先把线段变成管子，再让管子变细，通过观察体积缩水速度，我们就完全确定了它的维度。譬如，要想证明三维的挂谷猜想，你只需要证明，几乎完全不缩水就行了。

所以数学家不直接处理挂谷线段集合，而是处理挂谷管子集合。这样更方便。

用这个办法你也可以确定前面康托集合的维度，但就有点杀鸡用牛刀的感觉了。

【前奏】
数学家坚信挂谷管子集合一定是丰满的不缩水的三维。你要想证明这个猜想，你只需证明不存在反例。或者，你得首先搞清楚，反例如果存在的话，有哪些典型特征。

一大堆管子如果扎堆交汇在同一个点，像刺猬一样，像“灌木丛”一样，交点处虽说十分密集，但越往外必定越蓬松。这个特点让它不那么容易缩水。数学家利用这个特点，很快证明了，假如反例真的存在的话，它的维度最少也得是2，不可能比2小。

1995年，沃尔夫发明了一件更高级的武器：发刷。
先拿出一根管子作为“刷子柄”（主干），然后让无数根其他方向的管子像“刷毛”一样，在不同的位置穿过这根主干。这就形成了一把四面八方都长满毛的“发刷”。
发刷比灌木丛更厉害，数学家借此证明，挂谷集合的维度最少也得是2.5。

意外的是，数学家在2.5这个数字上，卡住了很久。

2000年，数学家卡茨、拉巴、陶哲轩有个惊人的发现，假如不是在我们生活的三维实数空间考虑，而是在三维复数空间中，那么挂谷猜想竟然是错的！真的存在维度小于3的挂谷集合———海森堡群。维度只有2.5。
还好，我们生活在实数空间中。

数学家通过仔细研究海森堡群，总结了反例的关键特征，提出了一个雄心勃勃的证明猜想的纲领———卡茨-陶哲轩纲领。

这个纲领分三步走。
第一步是说，假如真的存在挂谷管子反例的话，那么我们猜测它应该具备三个特征：扁平性、颗粒性、粘性。
第二步和第三步，则是借助这三个特征，利用另一门数学分支（算术组合学）的定理（和积理论)，想办法证明具备这三个特征的反例绝不可能存在。

后两步的直觉，可以借助一点点高中知识来理解（这一段完全跳过也不影响后续理解）：

在复数平面上，实数是一条直线，两个实数做加法和乘法，依然得到一个实数，处于一个闭环中。所以实数轴仿佛复数海洋中的一个孤岛。
这种闭环效应，意味着不容易膨胀。不容易膨胀就意味着更容易缩水。算术和几何之间在某些地方存在深层次的相似性和同构性。
这就是为什么三维复数空间中可以有海森堡群这样的反例。
而实数轴中却没有这样的闭环孤岛。所以不应该存在挂谷反例。

后面两步成立的前提是，你得先证明第一步。 
第一步中的前两项，扁平形，颗粒性，古斯等人已证明。但粘性是难啃的硬骨头。

前两者，只是局部的长相，而粘性要求，管子在从极微观到极宏观的所有尺度下，都以以一种极其规律一致的方式粘连在一起。这就是所谓分形。不管放大镜的倍数是多少，看到的都一样。要求反例在所有尺度上呈现如此完美的规律，十分困难。

【 王虹和扎哈尔的证明】

2022年，王虹和扎哈尔，发表了一篇论文。作者没有死磕第一步，而是先证明了后面两步。我不知道你是不是粘性的，但是假如你是粘性的，那么我就可以证明你的维度一定是3。这就是所谓“粘性挂谷定理” 。

许多数学家对如何处理非粘性的情况感到悲观。

2025年，王虹和扎哈尔补上了第一步，完成了所有的证明。

论文的核心是尺度归纳法。  

通常的归纳法就像多米诺骨牌。它通常有两个要素。  

第一，推倒了上一块，你得务必保证能推倒下一块。这是递推法则。  

第二，你得至少推倒一块。这是奠基。  

这篇论文的尺度归纳法，跟通常的数学归纳法不太一样，但有异曲同工之妙。  

论文的核心，就是证明一个递推法则。用陶哲轩的话说，“犹如完善了一台永动机，输出竟然比输入还要多一点”。  

而前面1995沃尔夫得到的结果2.5，则是奠基性的第一块骨牌。

此外还需要用到拓扑相关的优雅论证。通常的数学归纳法不需要这种论证。

沃尔夫的结果2.5，跟我们想要的最终结果3，还有0.5的误差。  

尺度归纳法一旦启动，这误差一点点缩小。最终必然归零。  

困扰数学界多年的三维挂谷集合猜想至此得证。

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【正文至此结束，文末有论文思路更详细的解读，感兴趣的朋友可以一看】

【 参考资料】
Wang, Hong, and Joshua Zahl. "Sticky Kakeya sets and the sticky Kakeya conjecture." _Journal of the American Mathematical Society_ 39, no. 2 (2026): 515-585. （2022 preprint）

Wang, Hong, and Joshua Zahl. "Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions." _arXiv preprint arXiv:2502.17655_ (2025).

Cotler, Jordan, and Semon Rezchikov. "Renormalization group flow as optimal transport." _Physical Review D_ 108, no. 2 (2023): 025003.

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【更详细的解读】
我们不妨进一步更详细地来理解这篇论文。

确定维度的关键在于，观察管子集合缩水的速度。
论文锻造了两种工具来测量管子集合的体积。
一个是专门测量粘性管子集合体积的，不妨称之为标准量器。
另一个可以测量非粘性管子集合的体积，不妨称之为非标准量器。既然非粘性的它可以测，那么粘性的它当然也可以测，只是不那么好使。这就好比越野车既然能越野，也必然能上高速，只是显得笨重。

非粘性的挂谷管子集合反例，是指管子集合在各尺度扎堆聚集，稀疏不均，杂乱无章。

论文直面这种最困难的情况。
它对管子集合的整体排布方式进行各种严密的数学操作和提纯。 结果发现，整个管子集合必定且只能落入三种全局状态：前两种（B状态和C状态）呈现杂乱无章的非粘性排布，第三种（A状态）则呈现完美套娃般的粘性排布。

论文证明了一个关键的结果，我们其实也可以用标准量器，去测量非粘性管子集合的体积。这背后的直觉大概是，一个稀疏不均的非粘性集合，固然是杂乱无章的结构，但你可以想办法从中提炼出某种规则有序的结构，然后用标准量器去测量。

这就证明了这两种量器某种程度上其实是等价的。

但要真正拿着量器去实地测量这团乱麻，还面临实操难题。数学家于是用到了一个关键概念——颗粒化（Grains）。他们用一套微小的长方体网格，把乱麻般的管子交织出的空间，切分并打包成了无数微小的“颗粒”盒子。通过这种空间打包，不可计算的连续混沌，变成了可计算的标准几何积木。

论文借此证明了另一个关键的结果，用非标准量器来处理非粘性状态，每次都可以确定，它真实缩水后的体积，其实比我们原先以为的还要更大一点点。

譬如，在某一种非粘性状态（B状态）下，微观的管子在颗粒内部服从标准量器，而这些颗粒本身在宏观上又作为大积木服从非标准量器。微观和宏观的齿轮相咬合，就能得到一个微小的体积红利。

这背后的直觉大概是，非粘性的管子集合虽然扎堆重叠，貌似缩水了更多体积。但是它在一个地方扎堆聚集，由于管子笔直，不会拐弯，它必然要在别的地方付出更大的代价。最终反而缩水后的体积，比粘性管子的情况，还要更多出一点点来。这种感觉就好比，一个做生意的人，到处偷工减料，貌似节省了成本，但时间久了他必然要因为不诚信，而受到惩罚，付出更大代价。最后总的成本反而更大。

这两个关键的结果，结合在一起，作者就证明了一条递推法则，用陶哲轩的话说，“犹如完善了一台永动机，输出竟然比输入还要多一点”。

数学归纳法就像多米诺骨牌。它有两个要素。
第一，推倒了上一块，你得务必保证能推倒下一块。这就是递推法则。
第二，你得至少推倒一块。这是奠基。

王虹论文中所构建的是一种“尺度归纳法”。它跟通常的数学归纳法不一样，但有异曲同工之妙。

尺度归纳法还需要用到拓扑学论证，而前面1995沃尔夫得到的结果2.5，就是推倒的第一块骨牌。
沃尔夫的结果，跟想要证明的3还有0.5的误差。
精细尺度归纳法启动，误差必然会一点点归零。维度必然为3。
所以非粘性的两种分类，必然没法构造出挂谷反例。

这就说明，挂谷反例如果存在的话，必然处于第三种粘性的情况中。但这种经过层层操作从非粘性中提炼出来的粘性管子，跟2022年论文中的粘性管子，还有一点点区别，就是这里得到的粘性管子，数量太少了，没能触发使用2022年论文中定理的门槛。

作者于是创造性地跨领域调用了泛函分析中的一个重要技术（NSP），把管子批量复制。最终构造出来的粘性管子，可以直接使用粘性挂谷定理，无需归纳法，一步到位，它的维度必然为3。

这就说明，即使在粘性的情况下，也绝不可能存在维度小于3的挂谷反例。

2022年的论文好比设好了一个陷阱，2025年的则像是把猎物赶到陷阱里的过程。

猜想得证