1.2 图形的对称群

1. 写出正六边形的对称(性)群 的所有元素， 的生成元是什么？生成元适合的关系有哪些？ 的阶是多少？

【解答】：的阶数为，他有两个生成元，我们记作和.其中表示绕正六边形的中心旋转,表示关于某一个对称轴的反射。
这些生成元满足，并且

2. 正五边形的对称(性)群 中， 是哪个元素？
   【解答】 根据上面我们知道
   因此

3. 写出正四面体的旋转对称(性)群的所有元素。

【解答】：正四面体的旋转对称群，无非使得它的四个顶点交换位置，所以总的情况一共有种，但是其中只有一半是可以变换获得的，另一半需要镜像才能获得。所以正四面体的旋转对称群中只有个元素。

他们分别是：单位元，绕一个顶点与对面中点连线旋转或者；这样的顶点-面组合有四种。绕一组对边的中点连线旋转这样的对边组合一共有种，共12个元素。

4. 写出正方体的旋转对称(性)群的所有元素。
   【解答】①恒等变换
   ②绕对面中心旋转。这样的对面一共有三组。共9个元素。
   ③绕主对角线旋转。这样的对角线一共有4组，一共8个元素。
   ④绕一组对棱的中点旋转，这样的对棱有组。
   综上，正方体的旋转对称群共有24个元素。

【注释】：平面正边形的对称群包括反射变换，是因为这个图形放在维空间中是可以沿着某一轴旋转，从而和自身重合的。
但是对于立体图形，不可能通过变换把它变成自己的镜像，因此在3.4题目=种四面体和正方形的旋转对称群中，我们不考虑关于某一个面对称，这样得到的是镜像的几何体，无法和之前的图形重合。