格律诗与偏微分方程：邓煜如何在规则里找到自由

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一首格律诗，和一类方程

邓煜的电脑屏幕上常年停着一首诗——李商隐的《锦瑟》。八句，每句字数相等，对仗工整，声律严格，是中国古典诗歌里最讲究规矩的一种体裁：格律诗。这首诗写于晚唐乱世前夕，一千多年来注家蜂起，却始终没人能把它讲透。

邓煜喜欢这种讲不透。他觉得格律诗的魅力恰恰在于，规则越是严苛，能在其中说出的东西反而越丰富。这几乎是他做数学的方式：把一整套复杂系统压缩进一个方程，再从这个被高度限定的形式里，挖出层层叠叠的结构和巧合。

这种"戴着镣铐跳舞"的美学，2026年为他赢得了菲尔兹奖——数学界最高荣誉。他和合作者证明的一系列定理，回答的是随机性如何在物理系统中传播、宏观规律如何从微观互动中浮现出来。用布朗大学数学家Benoît Pausader的话说，很多人以为这些结果还要再等十年才会出现。

输给围棋，转向数学
邓煜1989年出生不久，全家搬到深圳。那时深圳蛇口还是一片脏乱的城中村，街上有异味，几年后却变成了地铁、公园和高档小区林立的地方——"时间就是金钱，效率就是生命"的标语贴满街头。他在这种极速变化里长大，性格却安静内向，喜欢一个人待着，把家里的书翻个遍。

母亲是消化科医生，说他五六岁就开始读医学教科书，追问解剖结构。为了让他少读书多出门，父母带他去海边散步，条件是走完就能去书店。父亲会在路上给他出数学题——一道关于L形拼块能否铺满去掉一格的方格表的证明题，需要用到通常高中才教的归纳法。他七岁就解出来了。

为了保护视力，父母买了一副围棋。他很快沉迷其中，能一坐两三个小时琢磨死活题。2001年，他参加中国围棋职业定段赛，赛到最后三局，只要再赢一场就能定段。三局全负。第二年再战，心气已经不在了。"要么围棋，要么数学，"他后来说，"既然输了，那就转向数学。"这个决定近乎冷静得没有情绪。

组合数学的直觉、长时间独自钻研一个问题的耐性——这些围棋训练出来的能力，后来几乎原封不动地搬进了他的数学研究里。

概率论闯进偏微分方程的世界
凭借国际数学奥林匹克金牌，邓煜保送北京大学，两年后转学去了麻省理工。大一那年，他去听了马萨诸塞大学阿默斯特分校数学家Andrea Nahmod的一场讲座，主题是"随机数据问题"（random data problem）。这场讲座定下了他此后二十年的研究方向。

随机数据问题关心的是偏微分方程（partial differential equation，简称PDE）——一类描述海浪、光纤中的光波等复杂波动如何随时间演化的方程。多数情况下，只要给定初始波形，PDE理论上就能预测未来任意时刻的状态，但要严格证明这一点极其困难。Nahmod的思路是：如果初始波形不是精确给定，而是从某种概率分布里随机抽取，能不能证明方程几乎总是有解？

这意味着把概率论——一个天然带有不确定性的工具——嫁接到PDE这种原本追求确定性推演的领域上。邓煜形容这是"从一个完全不同的角度重新看你的方程"。当年夏天，MIT数学家Gigliola Staffilani给了他一道相关的习题，秋天他交上来一篇已经可以直接发表的论文。Staffilani后来回忆，自己带过的研究生里都没见过打磨得这么完整的工作。

迷茫与低谷
博士阶段，邓煜想解决随机数据问题里最难啃的一类情形——初始波形不仅随机，而且"粗糙"，剧烈震荡甚至存在不连续点。如果能证明这种极端条件下方程依然有解，就能揭示一个更深层的物理性质：吉布斯测度（Gibbs measure），一种描述系统处于平衡态时概率分布规律的统计物理概念。

但当时的数学工具还不够用。他转去做别的问题，成果平平，人也陷入低落。在纽约大学做博士后期间，他常年抱着漫画看，尤其喜欢"百合"（yuri）题材——描写女性之间深厚情感的故事。这类故事让他觉得温暖，也让他学会对自己宽容一些。

2017年博士后即将结束，他没拿到心仪学校的教职邀请，一度认真考虑过回国，或者去金融行业。那年冬天，他一个人坐火车去了长岛的长滩，在酒店里住下，沿海岸线散步，写下一组格律诗，风格模仿李商隐——写他想逃离，又觉得逃离是对数学梦想的背叛，写海潮的不安。写完之后，他觉得这件事"翻篇了"，一周没碰数学，然后又"自动"想回去做研究。

2018年，他拿到南加州大学的教职邀请。

重新出发：吉布斯测度与随机张量
真正把他拉出低谷的，是南加大一位刚起步、同样感到迷茫的博士后Haitian Yue。一次饭局后Yue开车送他回家（邓煜从不开车，即使在洛杉矶也是如此），路上聊起自己博士期间做的正是随机数据问题。邓煜觉得时机到了，提议三人——他、Nahmod、Yue——一起重启这个方向。

他们盯上了二维非线性薛定谔方程，一个描述波动相互作用的经典PDE。目标是证明：即便初始波形极端粗糙，方程依然有解，而且解所服从的概率分布——也就是吉布斯测度——在时间演化中保持不变。这个"不变性"如果成立，意味着系统真正处于某种统计意义上的平衡。

传统做法是把解拆成两部分分别处理，但其中一部分始终太复杂，拆不动。三人把这一部分再往下拆，发展出一套新工具——随机张量（random tensors）。Yue回忆，讨论时邓煜常常沉默十几分钟,自己演算,然后突然擦掉黑板重写:"应该这样做。"这项工作最终发表于《数学年刊》（Annals of Mathematics），数学界公认的顶级期刊，也完成了他多年前给自己定下的目标。

希尔伯特第六问题
差不多同一时期，邓煜结识了密歇根大学数学家Zaher Hani。Hani研究的是另一条相关但目标不同的路径：从薛定谔方程这种描述单个波动相互作用的"微观"方程出发,推导出描述系统平均行为的"宏观"方程——波动动理学方程（wave kinetic equation）。物理学家早就默认这种推导成立，但严格的数学证明一直缺失。

两人先把已有结果的适用时间范围往后推，随后决定放弃已有思路，从零开发新方法：把方程的解表示成一系列形似树状图的复杂求和，再逐一估算每棵"树"对总和的贡献。部分"树"相互抵消，剩下的可以拆成更小的、可分析的片段。合作者形容这种拆解需要近乎外科手术般的精度。

这套方法解决的问题恰好触及一个更古老、更宏大的目标：1900年，数学家大卫·希尔伯特提出的"第六问题"，要求为气体从微观粒子运动到宏观流体方程的过渡建立严格数学基础。这与邓煜和Hani刚解决的波动问题在结构上高度相似，只是对象从波变成了粒子。

邓煜、Hani和密歇根大学的Xiao Ma意识到方向后,几乎是秘密地投入这项工作——因为太多人也在尝试同一个问题。他们日夜推演,一度濒临过度疲劳。2024年8月,三人完成了一篇200页的论文,把希尔伯特第六问题在长时间尺度上解决了,距离问题提出已过去124年。论文公布后,数学界花了数月才消化完。邓煜后来飞到巴黎,当面向同行逐页讲解——整整一周,他没有翻过一次笔记,两百页的演算全在脑子里。

自由与克制，手拉手
得知获得菲尔兹奖时，邓煜的第一反应是如释重负，而不是兴奋——传出候选名单的那段时间，他一直很紧张。他仍然对自己要求很高：每换一组新方程，几乎所有细节都要重新推导一遍，没有太多可以直接复用的捷径。但这种"笨办法"里也有他喜欢的东西——每一次重来,都会碰到新的、有趣的结构。

他的客厅至今空荡荡的,一张桌子、一块白板、一个书架、一把扶手椅,住了一年半也像刚搬进去。他说这种空是自由——可以随意走动、随意想事情。他仍然读诗写诗、偶尔下棋、看纯粹为了消遣的漫画,还打算养一条蛇,"因为好看"。

组合数学串起了他人生的几条线——童年的围棋、少年的奥数、如今的研究——也串起了他对诗的偏爱：一套严格的规则之下，意义反而可以无限增殖。这或许就是他反复回到的那个命题：自由和约束，从来不是对立的两端。

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