好球

之前我们学过分数，而这次的分数会有更重要的知识点。可是，在我们学习它之前，务必记得我们所知道的分数。

每个分数都有它们各自的意义，比如5/9，表示的是把整体一平均分成9份，其中的5份就是它的5/9。当然，这是以平均分解释的5/9，包含除可以用“5个1/9”来表示。如果把它放在数轴上，那么他跳的每一步就是1个1/9，也就是它的分数单位，他有5个这样的单位，所以它跳到了5/9这个新位置，于是我们发现：自然数跳了几个1，分数就跳几个分数单位，每一个分数的分数单位都是这个分数的1/分母。

不过，不是所有的分数都像5/9那样可以轻易的表达，比如说7/5，他与5/9的不同之处在于5/9是分子小于分母，而7/5是分子大于分母，那么这里如果用平均分，把整体1平均分成5份，取其中的7份就听着不太现实，可如果咱们用包含除或想得更抽象一点，我们就可以理解这一个看着很不对劲的分数，这种分数叫做假分数，假分数就意味着分子大于分母，而另外的分子小于分母就是真分数。但分子和分母有可能是一样的呀，所以数学家们又扩大了假分数的定义，如果分子不小于分母，也就是≥分母，那么它就是假分数。

如果分子大于分母，那么他这个分数的大小一定是大于1的，因为它取得分数是大于它原有的份数，所以它一定比1大，那么既然比1大，能不能写成1+一个真分数的形式呢？答案是肯定的，比如7/5，他也可以写成1+2/5，也就是1又2/5，这种由整数和真分数组成的数叫做带分数，带分数是假分数的一种，他们两个可以互相转化，因为1也可以写成分子等于分母这种分数形式，所以1又2/5=5/5+2/5=7/5。

跟除法有基本性质一样，分数也有它自己的基本性质，这是以后常用的分数的关键的一个知识点，不过，这次分数基本性质比较特殊，听着不太能相信，就是分母和分子同时乘一个相同的非零自然数，数值不变，而且，它们同时除以它们的公因数，数值还是不变的。比如2/4，分子和分母都有因数2，那么这时它们同时÷2，变成1/2大小是相等的。或者不除以了，而是同时×2，变成4/8，数值依然不变。这个定理用画图更好理解，如图，这个圆圈平均分成了4份，其中的2份就是2/4，而如果擦去一条横线，把圆平均分成2份，其中的一半和原来的四分之二的2份是一样的大小，而如果把真题平分成8份，取其中的4份，阴影部分一直是不变的，所以它们的大小也是不变的，这就是分数的基本性质。（图片）

如果我们知道2/4=1/2，那我们再回过来2/4，它就是很别扭的，因为它为什么要把1/2变得更复杂呢？所以2/4不是真正的分数，化简后的1/2才是它的真正的形态。这个用分数的基本性质化简的过程就叫做约分，约分的定义其实就是分数基本性质的后半段：同时除以它们的公因数。不过约分也不一定是很简单的，比如8/16，我们能一眼看出它们都是偶数，有公因数2，化简后得4/8，发现它们的公因数还有一个2，一直重复下去，才最后变成1/2，所以为了让我们计算起来更方便，数学家发明短除法也是，同样的，在草稿纸上写出如图的符号，很类似，需要一点一点地去除以它们的质因数，最后把最左侧的数竖着相乘，得出来分子和分母的最大公因数，也就是说要约分只需同时除以这个数，就可以化成最简分数，一步到位。还是原来的8/16，经过短除法就可以立刻找到最大的公因数。（图片）

可约分只是在结果上进行更简洁的化简，像3/5+7/9这样的式子我们该怎么算呢？首先，两个分数都是最简分数，所以约分是无济于事的，这就引入到了另一个加减法的知识点，就是通分，通分不是以繁化简，而是“以简化繁”，不过这里是更助于我们计算的策略。通分是分数基本性质前半段，也就是分母与分子同时乘一个相同的非零自然数，数值不变，而通分目的就是利用这个性质达到异分母分数变为同分母分数。还是原来的算式，5和9他们有一个公倍数：45，利用基本性质，3/5的分子和分母同时×9，变成27/45，7/9变成35/45，两者分母相同，只需用分子相加或相减就可以了。

两个数的公倍数是无限格的，可是为了更方便，我们只需要用最小公倍数就可以了。依然可以用短除法，例如要去16和8的最小公倍数，一开始使用起来和约分的一样，不过最小公倍数是把最外圈的所有数字相乘，16和八的最小公倍数是2×2×2×2×1，等于16。短除法是万能的，而且方便异常，如果要约分，那么最底下的两个数字就是约分后的分子和分母，如果是通分，那么像下图那样只看顶上和底下的数字交叉配对，即可找出最小公倍数与原数分别的倍数关系。最后。如果是多个数找出最小公倍数或最大公因数，只要有两个数还有不是1公因数，那么旁边那个数则原地抄下来。那两个数再做相应的短除法即可。

你可能很好奇，为什么一开始解释分数的意义的时候会用到平均分、包含除这种除法的意义，那是因为其实分数就是一个除法算式，分子是被除数，分母是除数，商是分数的值，这么看来，我们也发觉了分数转化成小数的秘密，就是分子除以分母。那我分子除以分母是根据什么呢？其实还是要用到一开始的意义，分数的意义是把整体1平均分成多少份，再取了多少分，比如还是5/9，可以写成1÷9×5，也就是1×5÷9，=5÷9=0.55…。

既然分数能变成小数，那么小数是不是也能变成分数呢？很遗憾，无限不循环小数是不能转换成分数的，可无限循环小数是可以转换成的，例如0.7循环，0.7循环×9可以利用乘法分配律写成0.7循环×10再-0.7循环，也就是7.7循环-0.7循环，循环的小数部分巧妙地抵消掉了，得出0.7循环×9等于7，利用除法的性质，0.7循环就等于7÷9也就是7/9。

现在，约分、通分和除法你已经都掌握了，不过，像比大小这样的题，需要用到后两者。比较3/8、18/6、13/9、4/15、5/7、25/5、1又2/3、4/10和2/3的大小；我建议先把分数化简再转化成小数比较更为方便，因为那样就是省去计算量大的通分，不过如果你想试一试的话，你也可以列一个很长的短除法，发现最小公倍数是2520，最后一一比较。

如果我们能掌握分数，那么就说明以后的除法算式都可以用分数来表示，复杂的无限小数也可能会有一天学会转化成分数，分数也能当成自然数，加入方程和代数式。只要我们熟练的掌握分数，那么以后的式子也不难理解了。